확률의 세계에 관해서는 종종 언뜻 보면 믿을 수 없을 만큼 단순해 보일 수 있는 생각을 자극하는 질문을 제시합니다. 그러한 질문 중 하나는 "양의 정수를 무작위로 선택할 때 50510134보다 큰 숫자를 얻을 확률은 얼마입니까?"입니다.
먼저 양의 정수의 맥락에서 확률의 개념을 이해해 봅시다. 양의 정수 집합은 (Z^+={1, 2, 3,\cdots})로 표시되는 무한 집합입니다. 표본 공간(S)에서 사건(E)의 확률(P)을 계산하려면 공식 (P(E)=\frac{n(E)}{n(S)})을 사용합니다. 여기서 (n(E))는 사건(E)의 요소 수이고 (n(S))는 표본 공간(S)의 요소 수입니다.
우리의 경우 표본공간(S)은 모든 양의 정수의 집합이고, 사건(E)은 50510134보다 큰 양의 정수의 집합이다. 양의 정수의 개수는 무한하고, 50510134보다 큰 양의 정수의 개수도 무한하다.
수학적으로 1부터 (N)까지의 양의 정수 집합을 고려하면 양의 정수의 개수(n(S) = N), 50510134보다 큰 양의 정수의 개수는 (n(E)=N - 50510134)입니다((N>50510134) 가정). 확률(P=\frac{N - 50510134}{N}=1-\frac{50510134}{N}).
(N\to\infty), (\lim_{N\to\infty}\frac{50510134}{N}=0). 따라서 무작위로 양의 정수를 선택할 때 50510134보다 큰 양의 정수를 얻을 확률은 1입니다. 이는 처음에는 반직관적으로 보일 수 있지만 무한의 본질을 고려하면 의미가 있습니다. 50510134보다 큰 양의 정수 집합은 집합 이론의 카디널리티 측면에서 모든 양의 정수 집합만큼 "큰" 것입니다.
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참고자료
- 확률 이론 입문, 윌리엄 펠러 저
- 집합이론과 그 응용(Patrick Suppes 저)